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一、选择题
1.在△ABC中，sinA=sinB，则△ABC是()
A.直角三角形B.锐角三角形
C.钝角三角形D.等腰三角形
答案D
2.在△ABC中，若acosA=bcosB=ccosC，则△ABC是()
A.直角三角形B.等边三角形
C.钝角三角形D.等腰直角三角形
答案B
解析由正弦定理知：sinAcosA=sinBcosB=sinCcosC，
∴tanA=tanB=tanC，∴A=B=C.
3.在△ABC中，sinA=34，a=10，则边长c的取值范围是()
A.152，+∞B.(10，+∞)
C.(0,10)D.0，403
答案D
解析∵csinC=asinA=403，∴c=403sinC.
∴0
4.在△ABC中，a=2bcosC，则这个三角形一定是()
A.等腰三角形B.直角三角形
C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形
答案A
解析由a=2bcosC得，sinA=2sinBcosC，
∴sin(B+C)=2sinBcosC，
∴sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC，
∴sin(B-C)=0，∴B=C.
5.在△ABC中，已知(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6，则sinA∶sinB∶sinC等于()
A.6∶5∶4B.7∶5∶3
C.3∶5∶7D.4∶5∶6
答案B
解析∵(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6，
∴b+c4=c+a5=a+b6.
令b+c4=c+a5=a+b6=k(k>0)，
则b+c=4kc+a=5ka+b=6k，解得a=72kb=52kc=32k.
∴sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c=7∶5∶3.
6.已知三角形面积为14，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为()
A.1B.2
C.12D.4
答案A
解析设三角形外接圆半径为R，则由πR2=π，
得R=1，由S△=12absinC=abc4R=abc4=14，∴abc=1.
二、填空题
7.在△ABC中，已知a=32，cosC=13，S△ABC=43，则b=________.
答案23
解析∵cosC=13，∴sinC=223，
∴12absinC=43，∴b=23.
8.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A=60°，a=3，b=1，则c=________.
答案2
解析由正弦定理asinA=bsinB，得3sin60°=1sinB，
∴sinB=12，故B=30°或150°.由a>b，
得A>B，∴B=30°，故C=90°，
由勾股定理得c=2.
9.在单位圆上有三点A，B，C，设△ABC三边长分别为a，b，c，则asinA+b2sinB+2csinC=________.
答案7
解析∵△ABC的外接圆直径为2R=2，
∴asinA=bsinB=csinC=2R=2，
∴asinA+b2sinB+2csinC=2+1+4=7.
10.在△ABC中，A=60°，a=63，b=12，S△ABC=183，则a+b+csinA+sinB+sinC=________，c=________.
答案126
解析a+b+csinA+sinB+sinC=asinA=6332=12.
∵S△ABC=12absinC=12×63×12sinC=183，
∴sinC=12，∴csinC=asinA=12，∴c=6.
三、解答题
11.在△ABC中，求证：a-ccosBb-ccosA=sinBsinA.
证明因为在△ABC中，asinA=bsinB=csinC=2R，
所以左边=2RsinA-2RsinCcosB2RsinB-2RsinCcosA
=sin(B+C)-sinCcosBsin(A+C)-sinCcosA=sinBcosCsinAcosC=sinBsinA=右边.
所以等式成立，即a-ccosBb-ccosA=sinBsinA.
12.在△ABC中，已知a2tanB=b2tanA，试判断△ABC的形状.
解设三角形外接圆半径为R，则a2tanB=b2tanA
⇔a2sinBcosB=b2sinAcosA
⇔4R2sin2AsinBcosB=4R2sin2BsinAcosA
⇔sinAcosA=sinBcosB
⇔sin2A=sin2B
⇔2A=2B或2A+2B=π
⇔A=B或A+B=π2.
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.
能力提升
13.在△ABC中，B=60°，最大边与最小边之比为(3+1)∶2，则最大角为()
A.45°B.60°C.75°D.90°
答案C
解析设C为最大角，则A为最小角，则A+C=120°，
∴sinCsinA=sin120°-AsinA
=sin120°cosA-cos120°sinAsinA
=32tanA+12=3+12=32+12，
∴tanA=1，A=45°，C=75°.
14.在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，若a=2，C=π4，
cosB2=255，求△ABC的面积S.
解cosB=2cos2B2-1=35，
故B为锐角，sinB=45.
所以sinA=sin(π-B-C)=sin3π4-B=7210.
由正弦定理得c=asinCsinA=107，
所以S△ABC=12acsinB=12×2×107×45=87.
1.在△ABC中，有以下结论：
(1)A+B+C=π;
(2)sin(A+B)=sinC，cos(A+B)=-cosC;
(3)A+B2+C2=π2;
(4)sinA+B2=cosC2，cosA+B2=sinC2，tanA+B2=1tanC2.
2.借助正弦定理可以进行三角形中边角关系的互化，从而进行三角形形状的判断、三角恒等式的证明.
